\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }
\begin{document}
	\section{“磁性的起源”}

	\footnote{本文是Griffiths 《电动力学》的学习笔记。}
	我们将简要在经典物理中探讨物质磁性的起源。然而，磁性本身是一个高度复杂的物理现象，事实上无法由经典物理完整解释。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.3 \linewidth]{atomic_mag}
		\caption{“分子电流”源于原子核与电子的运动}
		\label{fig:mcoil}
	\end{figure}
	
	
	在Maxwell的年代，人们对物质的微观结构所知甚少，因此物质磁性的起源被简化为“分子电流”模型，
	即假定分子中存在微弱的电流，这将产生磁矩与磁场。
	如今我们知道，“分子电流”主要源于原子核与电子的运动，具体而言，包括
	\begin{itemize}
		\item 原子核的自旋
		\item 电子的自旋
		\item 电子的轨道运动
	\end{itemize}
	这些运动将产生电流以及相对应的磁矩，从而产生磁场。
	一般而言，原子核自旋产生的磁场较弱，因此主要讨论电子自旋以及电子轨道运动的作用。
	
	根据主导机制的不同，物质的磁性体现不同特点。
	
	\subsection{抗磁性：电子轨道磁矩}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.2 \linewidth]{microscopic2}
		\caption{抗磁性物质}
		\label{fig:microscopic2}
	\end{figure}

	假设物质中所有的电子成对存在、没有未配对的孤电子，
	那么根据Pauli不相容原理（同一个轨道上成对电子的自旋相反），电子自旋磁矩都应该互相抵消，
	因此只剩下电子轨道运动产生的微弱磁矩，此时“分子电流”由电子轨道运动主导。

	外加磁(感应强度)场$\bvec B_{ext}$后，外磁场虽不足以违反Pauli不相容原理而改变电子自旋方向，但能轻微改变电子轨道运动所产生的磁矩。
	比较有趣的是，在这种情况下，电子轨道运动产生的磁矩将与外磁场方向相反，亦即在物质内部物质产生的磁(感应强度)场$\bvec {B_{ind}}$将与外磁(感应强度)场$\bvec {B_{ext}}$方向相反，
	这种现象被称为\textbf{抗磁性}。

	将在附录简要解释为何电子轨道运动产生的磁矩将与外磁场方向相反。
	
	\subsection{顺磁性：电子自旋磁矩}
	\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.3 \linewidth]{microscopic3}
	\caption{顺磁性物质}
	\label{fig:microscopic3}
	\end{figure}
	
	现在假设物质中存在未配对的孤电子。它由于没有\textsl{另一半}，它的磁矩将不会被抵消。
	这种孤电子自旋产生的磁矩比轨道运动磁矩大得多，因此此时“分子电流”由电子自旋主导。

	外加磁(感应强度)场$B_{ext}$后，正如“外场中的磁矩”模型一样，外磁场将使孤电子的自旋磁矩方向使平行于外磁场。
	因此存在孤电子时，在物质内部物质产生的磁(感应强度)场$\bvec {B_{ind}}$将与外磁(感应强度)场$\bvec {B_{ext}}$方向相同，
	这种现象被称为\textbf{顺磁性}。
	
	\subsection{铁磁性：内部磁矩的相互作用}
	以上我们只考虑了外加磁场对物质内部磁矩的影响，却没有考虑物质内部磁矩之间的相互作用。
	一旦考虑了物质内部磁矩之间的相互作用，事情将变得非常有趣：我们将会遇到“\textbf{铁磁性}”现象。
	关于铁磁性的描述，请参考隔壁Ising模型。Ising模型精炼地解释了诸多顺磁性-铁磁性现象。
	
	综上所述，我们为看似纷繁的磁性现象找到了站得住脚的说辞。
	
	\newpage
	
	\section{附录}
	\subsection{抗磁性的经典解释}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{magmot}
		\caption{示意图。 a. 反平行 b. 平行}
		\label{fig:magmot}
	\end{figure}
	
	\footnote{参考Griffiths 《电动力学》，W站《抗磁性》词条}
	我们假设电子绕原子核做半径为$R$、速度为$v$的原子轨道运动，那么，电子轨道运动产生的磁矩是
	\begin{equation}
		\bvec \mu = IS \hat n = - \frac{\abs{e}}{2 \pi r} v \pi r^2 \hat z = - \frac{1}{2} \abs{e} vr \hat z
	\end{equation}
	其中以负号代表电子带负电，使磁矩方向和轨道运动（角动量）方向相反。
	另一方面，电子做轨道运动的向心力及速度可写为
	\begin{equation}
		F = m \frac{v^2}{R} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{R}{m} F}
	\end{equation}
	现在我们加上与$\mu$反平行的外场$B$，并假设电子的轨道半径保持不变、但是速度改变。
	在外磁场下，电子还受磁场力：
	\begin{equation}
		\abs{F_{mag}} = \abs{q \bvec v \times \bvec B}
	\end{equation}
	在这种情况下，根据右手法则，$F_{mag}$的方向应该与向心力方向相同，
	也就是说，外磁场增加了电子所受的向心力；
	而根据向心运动公式，为了保持当前的轨道，电子的速度不得不加快。
	具体而言，我们假定$F_{mag}$是小的，那么做Taylor展开：
	\begin{equation}
		v_1 =  \sqrt{\frac{R}{m} (F + F_{mag})} \approx	\sqrt{\frac{R}{m} F}  + \frac{1}{2\sqrt{\frac{R}{m} F} } \frac{R}{m} F_{mag}
	\end{equation}
	因此
	\begin{equation}
		\Delta v = v_1 - v = \frac{1}{2\sqrt{\frac{R}{m} F} } \frac{R}{m} F_{mag} = \frac{qBR}{2} > 0
	\end{equation}
	也就是说，电子磁矩的变化
	\begin{equation}
		\mu_1 = - \frac{1}{2} \abs{e} v_1 r =  - \frac{1}{2} \abs{e} v r - \frac{1}{2} \abs{e} \Delta v r < \mu
		\Rightarrow \abs{\mu_1} > \abs{\mu}
	\end{equation}
	也就是说，电子轨道磁矩和外磁场方向相反时，其数值增大。
	
	反之，若外磁场方向与电子轨道磁矩平行，那么$F_{mag}$方向与向心力方向相反，这减少了电子的向心力，电子速度应降低：
	\begin{equation}
		\Delta v = - \frac{qBR}{2} < 0
	\end{equation}
	这降低了电子的磁矩
	\begin{equation}
		\mu_1 = - \frac{1}{2} \abs{e} v r + \frac{1}{2} \abs{e} \Delta v r > \mu
		\Rightarrow \abs{\mu_1} < \abs{\mu}
	\end{equation}
	也就是说，电子轨道磁矩和外磁场方向相同时，其数值减小。
	
	综上所述，无论哪种情况，都会看到和磁场平行方向电子磁矩的"减小"（或者说，反平行地增大）:，即所谓抗磁性效应。
	
\end{document}

